1

В комплексе для проверки магнитометров инклинометра для создания однородного направленного магнитного поля применяются кольца Гельмгольца и соленоид. Система «кольца Гельмгольца – соленоид» позволяет значительно уменьшить габаритные размеры установки и сократить количество позиционирований инклинометра в установке для выполнения проверки работоспособности магнитометров, что позволяет применять такой комплекс в полевых условиях. В статье приводится расчет параметров, а также моделирование и визуализация магнитного поля, создаваемого системой «кольца Гельмгольца – соленоид», в среде Comsol. Расхождение результатов моделирования в среде Comsol с расчетными значениями для областей пространства, где магнитное поле однородно, не превышает для соленоида 3 %, а для колец Гельмгольца 12 %. Расчеты и моделирование магнитных полей для системы «кольца Гельмгольца – соленоид» при заданных геометрических размерах и электрических параметрах питания системы показывают, что при позиционировании магнитометров проверяемого инклинометра в центре системы осуществлять проверку магнитометров инклинометра в полевых условиях возможно.

магнитное поле

соленоид

кольца Гельмгольца

магнитометр

инклинометр

проверка

1. Гормаков А.Н., Ульянов И.А., Федулов А.В. Комплекс для проверки магнитометров скважинных инклинометров в полевых условиях // НТВ «Каротажник». – Тверь: Изд. АИС, 2014. – Вып. 239. – С. 61–67.

2. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. – М.: Оникс 21 век, 2005. – § 10, 35, 38, 40.

3. Огородников А.С. Моделирование в среде MATLAB – COMSOL 3.5a. Часть 1: учебное пособие. – Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012. – 104 с.

4. Ульянов И.А., Гормаков А.Н., Федулов А.В. Комплекс для проверки магнитометров инклинометра // Патент России на полезную модель № 124790, опубл. 10.12.2013, Бюл. № 4.

5. Comsol Multiphysics URL: http://www. сomsol.com/ (дата обращения: 15.11.14).

Расчеты и моделирование магнитных полей для системы «кольца Гельмгольца - соленоид» проводились при проектировании и создании комплекса для проверки магнитометров инклинометра. Данный комплекс позволяет осуществлять проверку магнитометров инклинометра непосредственно на буровых площадках нефтегазовых месторождений.

Целью работы является подтверждение возможности создания однородного магнитного поля заданной величины в ограниченном геометрическими размерами установки объеме.

Общий вид комплекса представлен на рис. 1.

Комплекс состоит из установки 1 для базирования на ней проверяемого инклинометра 5, блока связи 2 с компьютером 3, соединительных кабелей и источника питания установки 4. Для работы с комплексом подходит любой персональный компьютер. Система «кольца Гельмгольца - соленоид» служит для создания постоянного направленного магнитного поля известной величины, с помощью которого осуществляется проверка магнитометров инклинометра.

Расчет колец Гельмгольца

Кольцами Гельмгольца называется система из двух одинаковых тонких катушек, расположенных соосно на расстоянии, равном их радиусу. В пространстве между катушками получается поле высокой однородности .

Суммарный модуль магнитного поля может быть получен из закона Био-Савара -Лапласа:

где µ 0 = 1,257·10 -6 Гн/м; I - ток, протекающий по виткам катушек колец, в амперах; R - радиус катушки, в метрах; х - расстояние по оси катушек, в метрах.

Катушки состоят из N витков. Общий ток N∙I.

Для системы двух колец Гельмгольца выражение магнитной индукции в геометрическом центре примет вид:

Магнитное поле, создаваемое кольцами Гельмгольца, в каждой точке продольной оси Х вычисляется по формуле:

(3)

Магнитометры инклинометра помещены в цилиндрический корпус диаметром 30 мм на расстоянии 10 мм друг от друга и расположены ортогонально. Длина самого магнитометра 28 мм. Исходя из этого, необходимо создать кольца Гельмгольца и соленоид таких размеров, магнитное поле которых будет равномерным в объеме, вдвое превышающем объем, занимаемый чувствительными элементами.

Исходя из технических требований к изделию, кольца Гельмгольца и соленоид должны питаться от одного источника, максимальный ток которого не должен превышать 0,3 А. Максимальный диаметр колец 300 мм. Диаметр используемого намоточного провода равен 0,45 мм. Считать рабочей зону, в которой погрешность максимального однородного магнитного поля не превышает 1 %. Такая погрешность допустима для осуществления проверки работоспособности магнитометров инклинометра.

Имея исходные данные, по формуле (2) можно вычислить число витков намоточного провода на каждом кольце:

(4)

Рис. 1. Общий вид установки

Рис. 2. Распространение магнитного поля в центре колец Гельмгольца вдоль оси Х

Сопротивление системы из 2-х колец:

, (5)

где ρ = 0,0178 Ом·мм²/м - удельное сопротивление меди; lср = π∙D∙n - длина провода в одном кольце. Действующее напряжение на концах намоточного провода колец определяется:

Расчетные значения индукции магнитного поля, созданного кольцами Гельмгольца вдоль оси Х, представлены на рис. 2. Зона максимального однородного магнитного поля с погрешностью в 1 % по оси Х составляет 90 мм.

Расчет соленоида

Диаметр соленоида должен быть максимальным и помещаться между кольцами Гельмгольца.

Исходные данные: радиус катушки Rк = 0,145 м; действующий ток I = 0,3 А; длина катушки lк = 0,3 м; диаметр провода dп = 0,00045 м; индукция магнитного поля соленоида В = 0,000060 Тл.

Напряженность магнитного поля:

(7)

Выражение для расчета напряженности магнитного поля соленоида:

(8)

где В - индукция создаваемого магнитного поля, Тл; I - сила тока, А; n - число витков на единицу длины, n = N/l; R - радиус соленоида, м; l - длина соленоида, м; x - координата точки на оси соленоида.

Индукция магнитного поля внутри соленоида , в середине продольной оси, то есть при x = l/2 вычисляется как:

(9)

Из формулы (9), имея известные данные магнитной индукции, силы тока и геометрических размеров соленоида, можно найти требуемое число витков намоточного провода:

Рис. 3. Распространение магнитного поля в центре соленоида вдоль оси Z

Шаг намотки провода на соленоид:

где t - шаг намотки провода, мм.

Сопротивление соленоида определяется, как

(12)

где d п - диаметр провода, м; ρ - удельное сопротивление меди 0,0178 Ом·мм²/м; Действующее напряжение определяется:

Расчетные значения индукции магнитного поля, созданного соленоидом вдоль оси Z, представлены на рис. 3.

Зона максимального однородного магнитного поля с погрешностью в 1 % по оси Z составляет 34 мм от центра соленоида в разные стороны.

Компьютерное моделирование магнитных полей

Моделирование магнитных полей, создаваемых системой «кольца Гельмгольца - соленоид», производилось в среде «Comsol» . Расчет магнитного поля выполнялся в модуле «Magnetic Fields (mf)» . Данные геометрических размеров, величины протекающих токов и количества витков использовались те же, что и при аналитическом расчете, а также, согласно техническому заданию, на разработку комплекса для проверки магнитометров инклинометра. Для более подробной визуализации распространения магнитных силовых линий в системе «кольца Гельмгольца - соленоид» представлены в упрощенном виде. Так как кольца Гельмгольца и соленоид включаются поочередно, то сначала моделируется работа соленоида, а затем работа колец Гельмгольца. На рис. 4, а показано распространение магнитных силовых линий в соленоиде.

Представленная на рис. 4, б, зависимость показывает, что зона максимального однородного магнитного поля с погрешностью, не превышающей 1 %, составляет 33 мм в обе стороны от центра соленоида по оси Z.

На рис. 5, а, показано распространение магнитных силовых линий поля при работе колец Гельмгольца.

а

б

Рис. 4. а - распространение магнитных силовых линий в соленоиде; б - величина магнитной индукции соленоида в зависимости от координаты точки, лежащей на продольной оси Z

а

б

Рис. 5. а - распространение магнитных силовых линий в кольцах Гельмгольца; б - величина магнитной индукции колец Гельмгольца в зависимости от координаты точки, лежащей на продольной оси Х

Представленная на рис. 5, б, зависимость показывает, что зона максимального однородного магнитного поля с погрешностью, не превышающей 1 %, составляет 40 мм в обе стороны от центра колец Гельмгольца по оси X.

Заключение

Результаты аналитического моделирования показывают расхождения с графиками зависимости величины магнитного поля от координаты точки по осям соленоида и колец Гельмгольца, полученными при моделировании в среде Comsol. Расхождение результатов моделирования в среде Comsol с расчетными значениями для областей пространства, где магнитное поле однородно, не превышает для соленоида 3 %, а для колец Гельмгольца 12 %. Это связано с тем, что при использовании катушек колец Гельмгольца с большим количеством витков вторая производная при разложении в ряд Тейлора не равна нулю для пар витков, находящихся на расстоянии, отличном от R/2 вдоль оси Х, относительно геометрического центра системы. Вследствие чего неоднородность магнитного поля увеличивается. Расчеты и моделирование магнитных полей для системы «кольца Гельмгольца - соленоид» при заданных геометрических размерах и электрических параметрах питания системы показывают, что при позиционировании магнитометров проверяемого инклинометра в центре системы осуществлять проверку магнитометров инклинометра в полевых условиях возможно.

Рецензенты:

Дмитриев В.С., д.т.н., профессор НИ ТПУ, г. Томск;

Бориков В.Н., д.т.н., директор института неразрушающего контроля НИ ТПУ, г. Томск.

Работа поступила в редакцию 09.02.2015.

Библиографическая ссылка

Гормаков А.Н., Ульянов И.А. РАСЧЕТ И МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ, СОЗДАВАЕМЫХ СИСТЕМОЙ «КОЛЬЦА ГЕЛЬМГОЛЬЦА – СОЛЕНОИД» // Фундаментальные исследования. – 2015. – № 3. – С. 40-45;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=37081 (дата обращения: 01.09.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»

Расчет электромагнитного привода постоянного тока с втяжным якорем 1. Конструкция привода
Конструкция электромагнитного привода (ЭМП) постоянного тока с втяжным якорем показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Конструкция ЭМП постоянного тока с втяжным якорем.
ЭМП состоит из цилиндрического стального корпуса, в который помещается токопроводящая (обычно медная) обмотка, представляющая собой цилиндрический соленоид. С обоих сторон корпус закрывается стальными крышками. На одну из крышек устанавливается стальная вставка. В отверстие другой крышки вставляется стальной якорь. Между якорем и сердечником должен оставаться рабочий зазор. Величина рабочего зазора определяет максимальный ход якоря. При пропускании электрического тока через обмотку якорь создает тяговое усилие, стремясь втянуться внутрь обмотки. Для возврата якоря в исходное положение при отключении тока может использоваться пружина (на чертеже не показана).
2. Постановка задачи
Необходимо рассчитать зависимость максимального тягового усилия ЭМП от хода якоря. На рис. 2.1 показан чертеж ЭМП с обозначением размеров.

Рис. 2.1. Чертеж ЭМП.
Принятые обозначения:
R0 - радиус вставки (якоря);
H0 - высота вставки;
R1 - внутренний радиус соленоида;
R2 - внешний радиус соленоида (внутренний радиус корпуса привода);
H - высота соленоида;
l - фактор упаковки;
j - плотность тока в обмотке;
Rd - внешний радиус корпуса привода;
Hd - высота корпуса привода;
Z - рабочий зазор;
X - перемещение якоря от начального положения;
U - напряжение питания привода;
I - величина тока в проводе обмотки;
F - усилие, развиваемое якорем привода.
3. Расчет допустимой плотности тока в обмотках
От плотности тока в обмотке зависит мощность тепловыделения и, соответственно, температура обмотки. Эта температура не должна превышать допустимой для данной марки провода. Расчет температуры внутри обмотки и, соответственно, допустимой плотности тока в обмотках можно произвести методом конечных элементов . Величина допустимой плотности тока в проводах обмоток зависит от конструкции ЭМП и для соленоидов с толщиной обмотки (R2 - R1) до 20 - 30 мм может достигать 5 ... 8 А/мм2 при длительной работе в воздушной среде температурой до 40 0C.
Если фактор упаковки принять равным 0.6, то при плотности тока в обмоточном проводе 5 А/мм2 плотность тока в самой обмотке составит 5 * 0.6 = 3 А/мм2. При этом превышение температуры обмотки над температурой окружающей среды будет не более 60 0C, а теплостойкость изоляции обмоточного провода должна быть примерно 100 0C.
Если плотность тока в проводе обмотки достигает 7.5 А/мм2 (плотность тока в обмоточном проводе 7.5 А/мм2, плотность тока в самой обмотке 4.5 А/мм2), то превышение максимальной температуры обмотки над температурой окружающей среды при длительной работе будет не более 120 0C. При намотке необходимо использовать провод с изоляцией соответствующей теплостойкости.
4. Расчет максимального тягового усилия ЭМП
Расчет распределения магнитного поля и возникающих при этом усилий можно произвести методом конечных элементов .Распределение магнитного поля в ЭМП показано на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Распределение магнитного поля в ЭМП.
5. Расчет обмотки ЭМП
Обмотка ЭМП представляет собой цилиндрический соленоид. Его расчет может быть выполнен разными способами, например, с помощью программы Coil . При заданных размерах соленоида и для заданного напряжения источника питания необходимо подобрать такой диаметр обмоточного медного провода, чтобы плотность тока в самом проводе была как можно ближе к полученному при расчете максимально допустимой плотности тока значению (например, 5 А/мм2).
6. Примеры расчета
Пример 1. Параметры ЭМП:
R0 = 5 мм
H0 = 5 мм
R1 = 6 мм
R2 = 15 мм
H = 40 мм
l = 0.6
j = 3 А/мм2
Rd = 20 мм
Hd = 50 мм
U = 12 В

Зазор Z, мм 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ход X, мм 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Усилие F, Н 1.71 1.84 2.02 2.25 2.57 3.00 3.72 5.18 7.86 16.60

Рис. 6.1. Зависимость усилия, развиваемого ЭМП, от хода якоря.
При питании ЭМП от источника напряжением 12 вольт обмотку следует намотать медным проводом диаметром (без изоляции) 0.27 мм. Если фактор упаковки равен 0.6, то число витков будет равно 3770, сопротивление - 73 Ом, индуктивность - 92 мГн. Потребляемый ток от источника с выходным напряжением 12 В составит 0.17 А, рассеиваемая мощность около 2 Вт.
Пример 2. Параметры ЭМП:
R0 = 5 мм
H0 = 5 мм
R1 = 6 мм
R2 = 13 мм
H = 36 мм
l = 0.6
j = 3 А/мм2 или 4.5 А/мм2
Rd = 15 мм
Hd = 40 мм
U = 24 В

Зазор Z, мм 5 4 3 2 1 Ход X, мм 0 1 2 3 4 Усилие F, Н для плотности тока 3 А/мм2 1.44 1.79 2.47 4.10 10.23 Усилие F, Н для плотности тока 4.5 А/мм2 3.16 3.88 5.27 8.38 17.22

Рис. 6.2. Зависимость усилия, развиваемого ЭМП, от хода якоря.
При питании ЭМП от источника напряжением 24 вольта при допустимой плотности тока в обмотке 3 А/мм2 обмотку следует намотать медным проводом диаметром (без изоляции) 0.16 мм. Если фактор упаковки равен 0.6, то число витков будет равно 7520, сопротивление - 373 Ом, индуктивность - 345 мГн. Потребляемый ток от источника с выходным напряжением 24 В составит 0.064 А, рассеиваемая мощность около 1.5 Вт.
При питании ЭМП от источника напряжением 24 вольта при допустимой плотности тока в обмотке 4.5 А/мм2 обмотку следует намотать медным проводом диаметром (без изоляции) 0.24 мм. Если фактор упаковки равен 0.6, то число витков будет равно 3340, сопротивление - 74 Ом, индуктивность - 68 мГн. Потребляемый ток от источника с выходным напряжением 24 В составит 0.33 А, рассеиваемая мощность около 8 Вт.
Если есть запас по развиваемому усилию, то можно соответственно уменьшить напряжение питания, при этом облегчится тепловой режим работы обмотки привода.
По вопросам расчета конкретных конструкций ЭМП обращайтесь к автору (см. раздел Контактная информация ).
Ссылки:

1. Coil: Программа для расчета параметров и магнитного поля цилиндрического соленоида
2. Бреббия К. и др. Методы граничных элементов: Пер. с англ. / Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. - М.: Мир, 1987. - 524 с., ил.
3. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 303 с., ил.
4. Казаков Л. А. Электромагнитные устройства РЭА: Справочник. - М.: Радио и связь, 1991. - 352 с.: ил.
5. Норри Д., Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. - 304 с., ил.
6. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков: Пер. с англ. - М.: Мир, 1986. - 229 с., ил.

Словарь терминов:

• Привод - устройство, имеющее рабочий орган, способный к механическому перемещению при наличии противодействующей силы.
• Фактор упаковки (коэффициент заполнения) - отношение объема проводника к объему обмотки; при равномерной намотке равен отношению суммарной площади проводников в поперечном сечении обмотки (без учета изоляции) к площади поперечного сечения обмотки.
• Цилиндрический соленоид - соленоид в виде цилиндра с центральным цилиндрическим отверстием (если таковое имеется).
• Электромагнитный привод - привод на основе электромагнита.

Электромагниты нашли в аппаратостроении широкое применение и как элемент привода аппаратов (контакторы, пускатели, реле, автоматы, выключатели), и как устройство, создающее силы, например, в муфтах и тормозах.

При заданном потоке падение магнитного потенциала уменьшается с уменьшением магнитного сопротивления. Так как сопротивление обратно пропорционально магнитной проницаемости материала, при данном потоке магнитная проницаемость должна быть возможно выше. Это позволяет уменьшить м.д.с. обмотки и мощность, необходимую для срабатывания электромагнита; уменьшаются размеры обмоточного окна и всего электромагнита. Уменьшение м.д.с. при прочих неизменных параметрах уменьшает температуру обмотки.

Вторым важным параметром материала является индукция насыщения. Сила, развиваемая электромагнитом, пропорциональна квадрату индукции. Поэтому чем больше допустимая индукция, тем больше развиваемая сила при тех же размерах.

После того, как обмотка электромагнита обесточивается, в системе существует остаточный поток, который определяется коэрцитивной силой материала и проводимостью рабочего зазора. Остаточный поток может привести к залипанию якоря. Во избежание этого явления требуется, чтобы материал обладал низкой коэрцитивной силой.

Существенными требованиями являются низкая стоимость материала и его технологичность.

Наряду с указанными свойствами магнитные характеристики материалов должны быть стабильны (не изменяться от температуры, времени, механических ударов).

В результате расчета магнитной цепи определяется не­обходимая магнито-движущая сила (МДС) обмотки. Обмотка должна быть рассчитана таким образом, чтобы, с одной стороны, обеспечить требуе­мую МДС, а с другой – чтобы ее максимальная темпера­тура не превышала допустимой для используемого класса изоляции.

В зависимости от способа включения различают обмот­ки напряжения и обмотки тока. В первом случае напряже­ние, приложенное к обмотке, постоянно по своему действу­ющему значению, во втором - сопротивление обмотки электромагнита намного меньше сопротивления остальной части цепи, которым и определяется неизменное значение тока.

Расчет обмотки электромагнита постоянного тока .

На рисунке 72 показаны магнитопровод и катушка электро­магнита. Обмотка 1 катушки выполняется изолированным проводом, который наматывается на каркас 2.

Катушки могут быть и бескаркасными. В этом случае витки обмотки скрепляются ленточной или листовой изоляцией либо заливочным компаундом.

Для расчета обмотки напряжения должны быть заданы напряжение U и МДС. Сечение обмоточного провода q находим, исходя из потребной МДС:

где – удельное сопротивление;

– сред­няя длина витка (рисунок 72);

R – сопротивление обмотки, равное

При неизменной средней длине витка и заданном МДС определяется произведением .

Если при неизменном напряжении и средней дли­не витка требуется увеличить МДС, то необходимо взять провод большего сечения. При этом обмотка будет иметь меньшее число вит­ков. Ток в обмотке возрас­тет, так как сопротивление ее уменьшится за счет уменьшения числа витков и увели­чения сечения провода.

По найденному сечению с помощью таблиц сортаментов находится ближайший стан­дартный диаметр провода.

Рисунок 72 – К расчету обмотки электромагнита

Мощность, выделяющаяся в обмотке в виде тепла, определяется следующим образом:

Число витков обмотки при заданном сечении катушки определяется коэффициентом заполнения по меди

где – площадь, зани­маемая медью обмотки;

– сечение обмотки по меди.

Число витков

.

Тогда мощность, потребляемая обмоткой, определится выражением

.

Для расчета обмотки тока исходными параметрами яв­ляются МДС и ток цепи . Число витков обмотки нахо­дится из выражения . Сечение провода можно выбрать исходя из рекоменду­емой плотности тока, равной 2…4 А/мм 2 для продолжитель­ного, 5…12 А/мм 2 для повторно-кратковременного, 13…30 А/мм 2 для кратковременного режимов работы. Эти значения можно увеличить примерно в 2 раза, если срок службы обмотки и электромагнита не превышает 500 ч. Площадь окна, занимаемого рядовой обмоткой, определяется числом витков и диаметром провода d

Выбор провода. В первую очередь следует ориентировочно выбрать диаметр провода марки ПЭЛ или какой-либо другой марки. Так как расчет несложный, его можно выполнить для проводов различного сечения и выбрать тот, который дает наилучшие результаты по напряженности магнитного поля при минимальной мощности потребляемой электромагнитом.

Выбрав диаметр провода, необходимо вычислить для него площадь поперечного сечения 5пр и допустимую для него силу тока/, исходя из минимального ее значения плотности, равной 2 а / мм 2 ,

I = 2S пр. (16)

Для проводов марки ПЭЛ эти данные приведены в справочнике .

Определение длины провода в обмотке электромагнита. Общая длина провода l пр будет равна

где U - напряжение источника питания, в;

R - сопротивление обмотки, ом;

S np - площадь поперечного сечения провода, м 2 ;

ρ - удельное сопротивление меди, равное 1,7*10 -8 ом*м 2 / м;

I - допустимая сила тока, а.

Вычисление глубины выемки в сердечнике и расчет количества слоев (рядов) провода, умещающегося в ней. Зная глубину а [уравнение (15)] выемки в сердечнике электромагнита и отняв от нее толщину изоляции δ и, находят активную глубину выемки

а ак = а - δ и. (18)

Эта величина позволяет вычислить количество слоев провода, умещающегося в этом пространстве. Так как каждый слой провода должен быть покрыт трансформаторной или конденсаторной бумагой слоем δ ми = 0,02 мм , то толщина каждого слоя обмотки будет составлять

d пр + δ би = d пр + 0,02 мм.

Количество слоев n сл провода можно получить, разделив активную глубину а ак выемки сердечника на толщину слоя, т. е.

(19)

Определение длины среднего витка обмотки. Для нахождение общего числа витков обмотки электромагнита требуется знать длину среднего витка. Для этого необходимо предварительно вычислить радиусы наименьшего и наибольшего витков обмотки. Радиус наименьшего витка r ним, очевидно, будет равен сумме

r мин = r с + δ и + r пр, (20)

где r с - радиус сердечника электромагнита, равный половине диаметра d п, мм;

δ и - толщина слоя изоляции между сердечником и обмоткой, мм;

r пр - радиус провода с изоляцией, равный половине диаметра d пр, мм.

Радиус наибольшего витка r макс будет равен

Зная радиусы наименьшего и наибольшего витков, не трудно вычислить радиус среднего витка как среднее арифметическое

(22)

Длина среднего витка l ср будет равна

l cр = 2πr cр. (23)

Определение общего числа витков провода и количества их в одном слое. Разделив длину провода l пр, найденную ранее, на длину Среднего витка l cр, получают общее количество витков w в обмотке

(24)

Число витков w сл провода в одном слое можно найти, разделив общее число витков w на количество слоев n сл

(25)

Определение высоты выемки в сердечнике электромагнита. Эту величину h п вычисляют по уравнению

(26)

где w сл - число витков провода в одном слое;

d пp - диаметр провода с изоляцией, мм;

δ и - толщина изоляции между полюсным наконечником и обмоткой, мм;

α - коэффициент неплотности намотки, который практически можно принять равным 0,98-0,99 * .

* (При малых размерах катушки коэффициент α можно принять равным 1. )

Определение напряженности магнитного поля в зазоре электромагнита. Выше были определены размеры сердечника электромагнита, количество витков провода в нем и величина зазора между полюсными наконечниками и корпусом прибора. Теперь следует проверить соответствие габаритов и обмотки электромагнита с магнитными свойствами его. Для этого необходимо вычислить напряженность магнитного поля в зазоре, пользуясь уравнением закона полного тока

Iw = H 0 l 0 + Н c l c + H т l т,

где I - сила тока в обмотке, а;

w - количество витков провода в обмотке;

l 0 - величина зазора, м;

Н с - напряженность магнитного поля в сердечнике, а/м;

l с - величина средней линии сердечника, равная длине магнитного потока в нем, м;

Н т - напряженность магнитного поля в корпусе электромагнита, а/м;

l т - длина магнитного потока в корпусе прибора, м.

Величинами Н c l c и H т l т можно пренебречь, так как они малы по сравнению с величиной H 0 l 0 . Тогда уравнение закона полного тока в упрощенном виде будет иметь вид

Iw = H 0 l 0 ,

H 0 = Iw / l 0 (27)

Такие магнитные системы обычно имеют коэффициент полезного действия Э ф в пределах 0,8-0,9, поэтому расчет электромагнитной системы можно считать выполненным, если напряженность магнитного поля с учетом Э ф, равного 0,8, будет не менее 130000-150 000 а/м, т. е.

H 0 Э ф = 150 000.

Определение количества провода, необходимо для изготовления обмотки. В справочной литературе приведен вес, m 100 м провода с изоляцией, выраженный в граммах. Общий вес тпр провода, необходимого для изготовления обмотки электромагнита, равен величине

m пр = l пр m / 100 г (28)

Определение общей длины прибора. Ранее из уравнений (13) и (26) были найдены высота полюсных наконечников l п и высота выемки h п под обмотку электромагнита. По этим величинам можно определить длину сердечника L с в миллиметрах

L с = 2l п +h п (29)

К этой величине следует добавить L к на крышку и днище с патрубками прибора и L B для свободного пропуска потока воды и размещения кожуха электромагнита в корпусе. Таким образом, общая длина прибора L выразится суммой L = L C + L к + L B мм .

Пример. Расчет прибора для магнитной обработки воды на двигателе ЗИЛ-130. Расстояние между патрубками, находящимися на радиаторе, до патрубка на водяном насосе составляет 0,24 м (240 мм) . Ориентировочно размер всего прибора можно принять равным 0,2 м (200 мм).

Площадь поперечного сечения S з кольцевого зазора следует взять равной площади поперечного сечения шланга с внутренним ∅ 0,045 м (45 мм) 0,0016 м 2 (1600 мм 2).

Исходя из свободного пространства, имеющегося на двигателе, ?Дружный диаметр корпуса D к прибора можно взять равным 120 мм .

При толщине стенок корпуса 4 мм внутренний диаметр корпуса прибора должен быть

d к = 120 - 8 = 112 мм.

Диаметр кожуха электромагнита D к0 будет равен согласно уравнению (11)

Диаметр D п полюсного наконечника равен [по уравнению (12)]

D п = D к0 - 2 (δ к + δ и) = 104 - 4 = 100 мм.

Высота полюсного наконечника l п составит [см. уравнение (13)]

l п = D п / 4 = 100 / 4 = 25 мм

Диаметр сердечника электромагнита d п согласно уравнению (14)

Конструктивно можно эту величину сократить до 40 мм , т. е. d п = 40 мм . Глубина а выемки под обмотку электромагнита согласно уравнению (15)

d = D п - d п / 2 = 100 - 40 / 2 = 30 мм.

Величина зазора l 0 между корпусом электромагнита и полюсным наконечником равна

l 0 = d K - D п = 112 - 100 = 12 мм (0,012 м).

Пример. Расчет обмотки электромагнита. Пусть для изготовления обмотки выбран провод ПЭЛ с диаметром 0,9 мм и с площадью поперечного сечения 0,6362*10 -6 мг (0,6362 мм 2) . Допустимая сила тока для данного сечения провода равна 1,27 а .

Сопротивление всей обмотки электромагнита составляет

R = U / I * 12 * / 1,27 = 9,45 ом.

* (Напряжение источника питания - аккумуляторной батареи. )

Длина провода l пр для намотки электромагнита

l пр = RS пр / ρ = 9,45*0,6362*10 -6 / 1,7*10 -3 = 353 м.

Активная глубина выемки по уравнению (18) равна

а ак = а - δ и = 30 - 1 = 29 мм.

Количество слоев провода п сл, умещающегося в этом пространстве, согласно уравнению (19) равно

п сл = а - δ и / d пр + 0,02 = 29 / 0,96 + 0,02 = 29,6 или 29 слоев.

Радиус r мин наименьшего витка [по уравнению (20)] равен

r мин = r с + δ И + r пр = 20 + 1 + 0,48 = 21,48 мм.

Радиус максимального витка [по уравнению (21)] равен

r макс = r мин + (d пр + 0,02) (п сл - 1) = 21,48 + 0,98*29 = 49,9 мм.

Радиус среднего витка r ср [см. уравнение (22)]

Эскизы однофазных: электромагнитов переменного тока с различными типами магнитопроводов показаны на рис.2.1 - 2.3. Амплитудное значение магнитного потока Ф m при действующем значении напряжении питания U , частоте f и числе витков обмотки W без учета активного сопротивления обмотки определяется по формуле

Ф m = U/(4, 44 f W) . (2.1)

Число витков обмотки приближенно равно

W = U/ (4, 44 f Ф m) . (2.2)

С учетом активного сопротивления обмотки (коэффициент k n =0,7 + 0,9) при заданной индукции в рабочем зазоре B em и активном сечении магнитопровода S m число витков

W = k n U/ (4, 44 f B em S m) . (2.3)

Амплитудное значение силы для однофазных систем без экранирующего витка при равномерном поле в рабочем зазоре и ненасыщенной магнитной системе определяется по формуле Максвелла (2):

Р эм = Ф 2 m / (2m 0 S п), (2.4)

где S п - площадь полюса, м 2 .

Среднее значение силы

Р mψ = Р эм / 2 . (2.5)

Если магнитный поток изменяется по синусоидальному закону Ф i = Ф m sinwt, то мгновенное значение электромагнитного усилия, согласно (2.4),

Р э i = Р эм sin 2 wt = Р эм (1- cos 2wt). (2.6)

Методики определения электромагнитного усилия Р э в функции от величины зазора, а также от времени для электромагнитов переменного тока приведены в работах .

Рис.2.1. Эскиз электромагнита переменного тока с втягивающимся якорем, имеющим квадратное сечение: 1 - якорь; 2 - остов; 3 – обмотка

При определении основных размеров н параметров однофазных электромагнитов с экранирующими витками площадь сечения полюса (м 2) может быть найдена по приближенной формуле, полученной из уравнения Максвелла исходя из условия отсутствия вибрации якоря

S п = 1.12 к р Р пр. к ·10 -5 / В 2 d m , (2.7)

где к р = (1,1 - 1,3) - коэффициент запаса по силе; В 2 d m = (1/1,2) T л - индукция в рабочем зазоре, которую выбирают вблизи колена кривой намагничивания применяемых сталей; Р пр. к – расчетная противодействующая сила при притянутом якоре, Н (для двухкатушечного электромагнита с двумя рабочими зазорами Р’ пр. к = 0,5Р пр. к; S п =b·a - площадь сечения полюса, г; м 2 ; в/а = 1…2 - отношение ширины полюса к его толщине.

Рис. 2.3 Эскиз клапанного П-образного электромагнита переменного тока; 1 - якорь; 2 - сердечник; 3 - основа­ние; 4 - обмотка; 5 - экранирующий виток

Для двухкатушечного электромагнита при квадратном сечении полюса размер стороны квадрата (м), определяемый по приближенной формуле и условия превышения средней электромагиитной силы над противодействующей , равен

где Р п р - сила для той точки противодействующей характеристики, в которой произведение силы на зазор является максимальным.

При выбранной по уравнению (2,7) площади полюса S п ширина полюса (м) (при условии квадратного сечения) равна

где ∆ паз - ширина паза под экранирующий виток, выбирается из конструктивных соображений, м; k зс - коэффициент заполнения по стали.

Размер а 2 экранированной части полюса

а 2 = (b - ∆ паз)/ (1+ а э), (2.10)

где а э = 0,25 - 0,5 - отношение площади неэкраниреванной части полюса и экранированной.

Размер а 1 неэкранированной части полюса

а 1 = а э а 2. (2.11)

Электрическое сопротивление экранирующего витка (Ом)

1,11 π f μ 0 S n /δ к, (2.12)

где δ к - конечный зазор между якорем и полюсом, м.

Высота экранирующего витка (м)

h в = 2 (b +a 2 +2∆ в) / r в ∆ в, (2.13)

где ∆ в - толщина витка, м; = - удельное электрическое сопротивление материала экранирующего витка при температуре нагрева Q. Ом-м; d - температурный коэффициент сопротивления, I/ о C; - удельное электрическое сопротивление материала витка при Q 0 , Ом-м.

Определяется площадь полюса S э = а 2 b , охваченная витком, и площадь полюса S н = а 1 b, не охваченная витком. Если пренебречь потерями мощности в короткозамкнутом витке и падаиием МДС на стальных участках магнитной цепи, то можно рассчитать угол сдвига между магнитными потоками, преходящими через эти части полюса.

φ = arctg φ ≈ arctg ω λ δэк / τ в, (2.14)

где λ δэк - проводимость зазора в экранированной части полюса при притянутом якоре. Практически достигнуть φ = 90 о невозможно и обычно φ =50 - 80°.

Мгновенные значения усилий для неэкранированной P эн i , и экранированной Р ээ i частей полюса можно определить по формулам соответственно

P эн i = P эн m (1-cos 2 ωt) /2. (2.15)

P ээ i = P ээ m (1-cos 2 ωt) /2. (2.16)

где амплитуды усилий

P эн m = Ф 2 н m / (2 μ 0 S н). (2.17)

P ээт = Ф 2 э m / (2 μ 0 S 0). (2.18)

Амплитуды магнитных потоков:

Ф н m = Ф н m S н / S n. (2.19)

Ф э m = Ф э m S э / S n. (2.20)

Среднее значение суммарной силы, действующей на якорь,

P эΣ = P эн m / 2 + P ээ m / 2 = P энср + P ээср. (2.21)

Максимальное и минимальное усилия, действующие на якорь

P эΣ max = P эΣ + P ~ m , (2.22)

P эΣ min = P эΣ - P ~ m , (2.23)

Где - амплитуда усилия переменной составляющей.

Изменение электромагнитных сил во времени показано на рис.2.4.

Для устранения вибрации якоря должно выполняться условие P Σ min >P мех. Если его условие не соблюдается, то параметры экрана варьируются.

МДС обмотки (А) для двухкатушечного электромагнита с двумя экранирующими витками определяют по приближенной формуле

, (2.24)

Для магнитных систем с внешним притягивающимся якорем МДС обмотки (А) без учета магнитного сопротивления стали при заданном потоке в рабочем зазоре Ф δm находят по формуле

, (2.25)

где Z δ Σ - суммарной магнитное сопротивление, Г н -1 , выражение для которого находят по схеме замещения магнитной цепи. Для приближенных расчетов можно принять. Z δ Σ ≈ R δ Σ.

Площадь сечения обмоточного провода (м 2)

q = F / W ∆ пр, (2.26)

где ∆ пр - плотность тока в проводе, N/м.

Площадь обмоточного окна одной катушки в двухкатушечном электромагните (м 2) равна

Q 0 = 0,5 g W/ k з.м, (2.27)

где k з.м. - коэффициент заполнений обмотки по меди. Индуктивность обмотки

L = W 2 λ мΣ , (2.28)

где λ мΣ - эквивалентная магнитная проводимость системы, Гн.

Ток трогания (А) при начальной противодействующей силе Р пр (Н) для двухкатушечного электромагнита с двумя рабочими зазорами равен

, (2.29)

где dL/dδ - производная индуктивности по ходу якоря при начальном рабочем зазоре, Гн/м.

Амплитудное значение пускового тока при сопротивлении обмотки r 0

, (2.30)

где U m - aмплитудное значение напряжения питания.

Время срабатывания реле

Минимальное и максимальное время трогания

t тр мин = (arcsin k i тр) / (2 π f), (2.32)

t тр макс = [(arcsin (1-k i тр) – arcsin (1-k i тр)] / (2 π f) (2.33),

где k i тр = I тр /I m

Минимальное и максимальное время движения

где d - коэффициент рассеяния; Ф m - амплитуда магнитного потока В Σ , равная

Среднее значение тяговой (электромагнитной) силы электромагнита (Н) определяется по энергетической формуле

, (2.38)

где I = U/Z - ток в обмотке, А; ψ = E/(2 π f) – действующее значение среднего потокосцепления, В δ ;

ЭДС обмотки; dψ/dδ , dI/dδ - производные, определяемые методом графического дифференцирования зависимостей I = f (δ) и ψ = f (δ); -

полное сопротивление обмотки.

Построение тяговой характеристики Р эср = f (δ) производится в такой последовательности: задаваясь величиной зазора, определяют λ мэ, Z, I, E, ψ, строят зависимости I = f (δ) и ψ = f (δ), графическим методом определяют производные и dψ/dδ , dI/dδ. Эти значения подставляют в формулу (2.38).

Контрольное задание № 3. Расчет реле напряжения постоянного тока на герконах

Исходные данные

Студенты, у которых предпоследние цифры номера зачетной книжки от 0 до 3, применяют герконы типа КЭМ-1, от 3 до 7 - типа КЭМ-2, а от 7 до 9 - типа КЭМ-6. Номер варианта выбира­ется но последней цифре номера зачетной книжки в табл.3.1.

Требуется выбрать параметры обмотки управления для реле напряжения с внутренним расположением герконов.